Контур треугольника: Интеграл по замкнутому контуру, формула Грина, примеры

Posted on by alexxlab

Содержание

Интеграл по замкнутому контуру, формула Грина, примеры

Если дан криволинейный интеграл, а кривая, по которой происходит интегрирование – замкнутая (называется контуром), то такой интеграл называется интегралом по замкнутому контуру и обозначается следующим образом:

.

Область, ограниченную контуром L обозначим D. Если функции P(x, y), Q(x, y) и их частные производные и – функции, непрерывные в области D, то для вычисления криволинейного интеграла можно воспользоваться формулой Грина:

.

Таким образом, вычисление криволинейного интеграла по замкнутому контуру сводится к вычислению двойного интеграла по области D.

Формула Грина остаётся справедливой для всякой замкнутой области, которую можно проведением дополнительных линий на конечное число простых замкнутых областей.Контур треугольника: Интеграл по замкнутому контуру, формула Грина, примеры

Пример 1. Вычислить криволинейный интеграл

,

если L – контур треугольника OAB, где О(0; 0), A(1; 2) и B(1; 0). Направление обхода контура – против часовой стрелки. Задачу решить двумя способами: а) вычислить криволинейные интегралы по каждой стороне треугольника и сложить результаты; б) по формуле Грина.

Решение.

а) Вычислим криволинейные интегралы по каждой стороне треугольника. Сторона OB находится на оси Ox, поэтому её уравнением будет y = 0. Поэтому dy = 0 и можем вычислить криволинейный интеграл по стороне OB:

Уравнением стороны BA будет x

 = 1. Поэтому dx = 0. Вычисляем криволинейный интеграл по стороне BA:

Уравнение стороны AO составим, пользуясь формулой уравнения прямой, проходящей через две точки:

.Контур треугольника: Интеграл по замкнутому контуру, формула Грина, примеры

Таким образом, dy = 2dx. Вычисляем криволинейный интеграл по стороне AO:

Данный криволинейный интеграл будет равен сумме интегралов по краям треугольника:

.

б) Применим формулу Грина. Так как , , то . У нас есть всё для того, чтобы вычислить данный интеграл по замкнутому контуру по формуле Грина:

Как видим, получили один и тот же результат, но по формуле Грина вычисление интеграла по замкнутому контуру происходит значительно быстрее.

Пример 2. Пользуясь формулой Грина, вычислить криволинейный интеграл

,

где L – контур OAB, OB – дуга параболы y = x², от точки О(0; 0) до точки A(1; 1), AB и BO – отрезки прямых, B(0; 1).Контур треугольника: Интеграл по замкнутому контуру, формула Грина, примеры

Решение. Так как функции , , а их частные производные , , D – область, ограниченная контуром L, у нас есть всё, чтобы воспользоваться формулой Грина и вычислить данный интеграл по замкнутому контуру:

Кратные и криволинейные интегралы

Поделиться с друзьями

Почему заземление треугольником устарело?

03.11.16

Треугольный контур заземления принято считать традиционным для небольших объектов, таких как: частный дом, дача или офис. При этом нет ни одного нормативного документа, обязывающего монтировать заземление именно таким способом. Тем не менее, на протяжении многих лет сложился определённый порядок при установке заземляющего устройства. Чем полюбился монтаж заземлителей треугольником? И почему стоит отказаться от наследия предшествующего поколения? Попробуем разобраться.

Зарождение традиционного заземления

Традиция выполнять заземление в виде треугольника, безусловно, не любовь, а вынужденное решение.Контур треугольника: Интеграл по замкнутому контуру, формула Грина, примеры Требования к заземлению в России регламентировалось всегда правилами устройств электроустановок, первое издание которого вышло аж в 1949! Следовательно, необходимость в заземлении объектов появилась, как минимум, с этого времени. Наиболее популярным токопроводящим металлом на тот момент и последующие десятилетия стала угловая чёрная сталь. Без использования специальных инструментов заглубить её можно не больше, чем на глубину промерзания грунта, т.к. проблематично забить уголок длиной более 2-2,5 м. Поэтому, чтобы добиться нужного значения сопротивления, увеличивали площадь, с которой растекается ток, дополнительными заземлителями. Форма контура может быть квадратной, прямоугольной или располагаться вдоль периметра дома, но любой собственник, выбирая между вариантами, укажет на наиболее простой. Так и зародилась традиция выполнять контур заземления треугольником.

Так ли хорош метод заземления треугольником?

Если раньше электрооборудование в частном доме или даче состояло только из телевизора и холодильника, то сейчас вопрос защиты имущества стоит остро.Контур треугольника: Интеграл по замкнутому контуру, формула Грина, примеры Современный дом — умный дом, он автоматизирован и наполнен технологическими устройствами. Здесь уровень комфорта напрямую зависит от электробезопасности, поэтому и подходить к выбору заземления стоит ответственно. Раньше рынок заземления не мог предложить другого решения, но сейчас выбор есть. Производители современного заземления учли все недостатки чёрной стали и поменяли не только материал заземлителя, но и сам подход к монтажу. Монтаж заземления из чёрной стали включал в себя: раскопку траншей, заколачивание заземлителей, сваривание уголков, но сейчас современная установка выглядит в виде одного глубинного электрода.

Преимущества глубинного заземления

Прежде всего современное заземление это:

  • Быстрый монтаж. На установку классического комплекта «Заземление в частном доме ZANDZ ZZ-6» уходит в среднем 30 минут!
  • Стабильное сопротивление заземления. Основная длина электрода находится ниже глубины промерзания, сопротивление грунта не сильно увеличивается в зимнее время и остается в предельных значениях.Контур треугольника: Интеграл по замкнутому контуру, формула Грина, примеры
  • Долгий срок службы. Великолепная коррозиестойкость некоторых материалов позволяет обеспечить срок службы заземлителю до 100 лет.

Очевидно, что некоторые традиции следует нарушать. Для чего использовать устаревший подход, если новый позволит сэкономить время, трудозатраты, деньги и будет служить ещё век? Возникли вопросы по заземлению? Обратитесь в Технический центр за консультацией!

Смотрите также::

Хотите получать избранные новости о молниезащите и заземлению раз в 3-4 недели?
Зарегистрируйтесь и автоматически получайте email-рассылку с подборкой.

Все новости публикуются в наших группах в мессенджерах и в социальных сетях.
[ Новостной канал в Telegram ]


Смотрите также:

Контуры треугольника.

Контур треугольника: Интеграл по замкнутому контуру, формула Грина, примеры Юрий Федоров – о “нормандском саммите”

Чем меньше времени остается до “нормандского саммита”, тем острее становятся споры, о чём нужно там договариваться и можно ли вообще о чём-нибудь договориться. Правда, предсказать итоги встречи в Париже вряд ли способны даже готовящие её переговорщики. Обозначенные публично подходы Киева и Москвы во многом несовместимы, а запасные позиции, которые могут быть положены на стол переговоров, стороны, естественно, держат в секрете. Однако общие контуры ситуации, складывающейся в преддверии “нормандской четверки”, более или менее понятны. В ней есть как политические, так и военные аспекты.

Президент Украины Владимир Зеленский надеется добиться мира на востоке своей страны путем переговоров, рассчитывая на поддержку западных государств, прежде всего Франции и Германии. Это желание соответствует настроениям большинства украинских граждан. Летом этого года в Украине за “мир любой ценой” выступали примерно 20 процентов респондентов, еще 49 процентов допускали во имя мира некоторые, но далеко не любые компромиссы с Россией, а лозунг “войны до победного конца” поддерживали 17 процентов опрошенных.Контур треугольника: Интеграл по замкнутому контуру, формула Грина, примеры

Против каких-либо соглашений с Россией, по другим оценкам, выступает около четверти украинского населения. Аргументы этой группы населения весомы: любые уступки приведут только к ослаблению позиций Украины в противостоянии с Россией, даже к её капитуляции, и вообще, договориться с Кремлем невозможно, а потому не стоит и пытаться.

Но столь же невозможно игнорировать стремление большинства граждан Украины к миру. За почти пять лет войны, с апреля 2014-го по декабрь 2018 года, украинские войска потеряли в Донбассе около четырёх тысяч человек убитыми. В пересчете на численность населения эти потери примерно в три раза больше, чем потери СССР в продлившейся десятилетие войне в Афганистане. Война отвлекает и без того незначительные ресурсы от решения социальных задач, а внимание общественного мнения – от необходимых стране реформ. Эти обстоятельства хорошо известны. Есть, однако, еще одна сторона дела.

Вблизи Украины сосредоточены мощные группировки российских войск, охватывающие её территорию полукольцом от границы с Беларусью до побережья Азовского моря.Контур треугольника: Интеграл по замкнутому контуру, формула Грина, примеры На севере развернуты 20-я общевойсковая и 1-я гвардейская танковая армии. На востоке – 8-я армия, в составе которой, помимо других соединений, фактически создана более чем 30-тысячная группировка сепаратистских формирований в оккупированных районах Донбасса под командованием российских офицеров. В резерве 8-й армии находятся ещё две армии – 49-я и 58-я, предназначенные для проведения операций на юго-востоке Украины, после того как будет прорвана украинская оборона. С юга Украине угрожают авиационные и десантные соединения, находящиеся в аннексированном Россией Крыму. Это означает: в Кремле готовы к полномасштабной вооруженной агрессии против Украины, рассчитывая разгромить основные силы украинской армии в ходе быстрых наступательных операций и принудить Киев к политической капитуляции до того, как международное сообщество и сопротивление населения смогут остановить российское вторжение.

Встреча в Париже состоится 9 декабря или её не будет вообще, и ответственность за срыв переговоров ляжет на Кремль

В конечном итоге предотвратить массированное вторжение российских войск в Украину может только наращивание боевого потенциала украинской армии.Контур треугольника: Интеграл по замкнутому контуру, формула Грина, примеры Сегодня эта армия на порядок сильнее, чем пять лет назад. Но до тех пор, пока Россия имеет военное превосходство над Украиной (а именно так обстоит дело сегодня), важно уменьшить возможность Москвы спровоцировать вооруженное столкновение с украинскими силами с тем, чтобы использовать его для развязывания “большой” войны. Этому, в частности, должно способствовать снижение напряжённости, устойчивое прекращение огня и другие меры безопасности в районе линии разграничения в Донбассе, попытаться добиться которых можно в ходе “нормандского саммита”.

Отказ от этого саммита, сколь бы отталкивающей ни являлась политика Москвы, сократит возможности Украины политическим путем снизить военную угрозу. Это также ослабит, даже может свести к нулю поддержку Украины со стороны Франции и Германии. Европейский политический менталитет придает переговорам, нацеленным на достижение компромисса, приоритетное значение. И поэтому стремление Зеленского добиться встречи с Владимиром Путиным и “нормандского саммита”, согласие с “формулой Штайнмайера” и разведение войск в трёх пунктах демонстрируют договороспособность Киева и тем самым делают его позицию привлекательной для французских и немецких партнеров.Контур треугольника: Интеграл по замкнутому контуру, формула Грина, примеры Не случайно неделю назад министр иностранных дел ФРГ Хайко Маас подчеркнул, что теперь пришла очередь России выполнять свои обязательства. А президент Франции Эммануэль Макрон в середине ноября фактически предъявил Путину ультиматум: встреча в Париже состоится 9 декабря или её не будет вообще, и ответственность за срыв переговоров ляжет на Кремль с неприятными для него последствиями.

И, возможно, самое главное. Многих в Украине (и не только в ней) беспокоит возможность того, что Зеленский не выдержит в Париже давления Путина и согласится на подрывающие безопасность страны условия реинтеграции оккупированных районов Донбасса. Вопрос, бесспорно, актуальный. Ответ на него мы узнаем только после 9 декабря. Важно, однако, что Зеленский обозначил определенные “красные линии”, переходить которые он не готов. В частности, выборы на оккупированных территориях состоятся после вывода оттуда наемников и иностранных, то есть российских войск. Они будут проходить по украинскому законодательству, например, избираться будут местные и городские органы власти, тогда как главы областей назначаются президентом Украины.Контур треугольника: Интеграл по замкнутому контуру, формула Грина, примеры Иными словами, не предполагается образования отдельных региональных формирований на месте пресловутых “отдельных районов Донецкой и Луганской областей”.

Будут города и другие населенные пункты с избранной их населением администрацией, входящие в состав Луганской и Донецкой областей. Такая позиция соответствует взглядам большинства украинских граждан. Более 50 процентов респондентов отвергают предоставление находящимся ныне под контролем сепаратистов территориям некоего “особого статуса”, закрепленного в Конституции, тогда как поддерживают такое решение менее 30 процентов. Наконец, Зеленский, министр иностранных дел Украины Вадим Пристайко и некоторые другие украинские государственные деятели дают понять: если Россия займет неприемлемую для Киева позицию, Украина перейдет к выполнению “плана Б”. В частности, вокруг сепаратистских районов будет построен “вал”, то есть фортификационные сооружения, изолирующие инфицированные микробами “Русского мира” территории. И отвечать за это будет Владимир Путин.Контур треугольника: Интеграл по замкнутому контуру, формула Грина, примеры

Юрий Федоров – военно-политический эксперт

Высказанные в рубрике “Блоги” мнения могут не отражать точку зрения редакции

Как нарисовать треугольник в фотошопе

В этой статье вы научитесь рисовать в фотошопе разные виды треугольника: равносторонний, равнобедренный, разносторонний и прямоугольный.

Как нарисовать равносторонний треугольник

У равностороннего треугольника все три стороны равны.

Самый простой вариант нарисовать в фотошопе такой треугольник — с помощью инструмента Многоугольник.

Выберите этот инструмент и на панели настроек сразу укажите количество сторон — 3.

Следующим этапом нужно определиться каким должен быть будущий треугольник: векторной фигурой, растровым со сплошной заливкой или нужен только контур. Рассмотри все варианты.

Векторный треугольник

На панели параметров выберите опцию Слой-фигура.Контур треугольника: Интеграл по замкнутому контуру, формула Грина, примеры

Теперь можно рисовать и сам треугольник. Во время создания вы будете видеть его границы. Это нужно для того, чтобы рассчитать его размеры. Также, пока не отпустили клавишу мыши, можно его крутить.

Векторный треугольник хорош тем, что можно быстро сменить его цвет, а также безболезненно изменить его размеры без потери качества. Для этого вызовете команду Свободного трансформирования — Ctrl+T.

Чтобы позже превратить его в растровый треугольник, используйте команду Растрировать.

Растровый треугольник со сплошной заливкой

Получится такой же треугольник, что и примером выше, но он будет сразу в растре.

Для этого на панели параметров нужно выбрать настройку Выполнить заливку пикселов.

Перед созданием такого треугольника, нужно первоначально создать для него новый слой.

Теперь рисуйте фигуру и она будет как самый обычный элемент растрового изображения.

Как нарисовать контур равностороннего треугольника

Для такой фигуры выберите на панели параметров опцию Контуры.Контур треугольника: Интеграл по замкнутому контуру, формула Грина, примеры

Рисуйте треугольник. У вас, естественно, получится только его контур. Далее, при этом же выбранном инструменте, сделайте клик правой кнопкой мыши внутри контура. Появится контекстное меню. Выберите команду Образовать выделенную область.

Откроется диалоговое окно. Радиус растушевки оставьте 0. Жмите Ок.

В итоге мы из контура сделали выделенную область.

А теперь, как в примерах с квадратом и кругом, можно сделать обводку выделенной области.

Для этого выполните команду Редактирование — Выполнить обводку. Появится окно, в котором укажите толщину линии обводки, а также как она будет проходить относительно пунктирной линии выделения: внутри, по центру, снаружи.

Фотошоп сделал обводку, теперь уберите пунктир выделения, чтобы не мешал — Ctrl+D. Результат:

Как нарисовать равнобедренный треугольник

У равнобедренного треугольника две стороны равны.

Разберем пример, когда нужно нарисовать равнобедренный треугольник заданных размеров. Допустим, основание 300 пикселей и высота 400 пикселей.

Шаг 1

Создадим новый документ в фотошопе, который будет превышать будущие размеры треугольника, например, 600 на 600 пикселей.

Шаг 2

Теперь с помощью направляющих и инструмента Линейка наметим габариты треугольника. Для этого сначала создайте горизонтальную направляющую ближе к низу документа (это будет основание). Затем вертикальную направляющую ближе к левому краю (от нее будем считать ширину):

Итак, основание (оно же ширина) договорились будет 300 пикселей. Отмеряем это расстояние от левой направляющей. Для этого возьмите инструмент Линейка и проложите прямой отрезок измерения (с зажатой клавишей Shift). На панели параметров смотрите в поле Ш.

В точке, где будет 300 пикселей проложите еще одну направляющую.

Теперь тоже самое сделаем с измерением высоты, напомню, она 400 пикселей. Отмеряем от нижней направляющей.

Так получили габариты треугольника в соответствии с заданными размерами. Теперь в этом прямоугольнике нужно нарисовать треугольник.

Шаг 3

Нужно отметить, где проходит середина. Поскольку ширина 300 пикселей, то середина будет проходить на 150. Отсчитаем это расстояние Линейкой и проведем там еще одну направляющую.

Шаг 4

Возьмите инструмент Линия (расположен там же, где и многоугольник). На панели параметров выберите опцию в зависимости от того, какой треугольник нужен. Здесь прямая аналогия с тем, что было описано у равностороннего треугольника. Я выберу Слой-фигуру.

Теперь, начиная с вершины, соединяйте углы треугольника линией. Благодаря направляющим, линия будет примагничиваться четко к центру пересечений, а значит нарисуем фигуру ровно пиксель в пиксель.

Шаг 5

Объедините три стороны в один слой.

Для этого выделите их на палитре, а затем вызовете контекстное меню и выберите команду Объединить слои.

Готово

Равнобедренный треугольник по заданным размерам нарисован!

Как нарисовать разносторонний треугольник

В разностороннем треугольнике все стороны различны.

Для того, чтобы нарисовать такой треугольник, выберите инструмент Прямолинейное лассо. С помощью него можно произвольно начертить все три стороны. Главное соединить начальную и конечную точку.

В результате получится выделенная область.

После этого, либо сделайте обводку выделения, либо закрасьте все выделение цветом. Это уже разбирали выше. Потом снимите пунктир выделения — Ctrl+D.

Как нарисовать прямоугольный треугольник

В прямоугольном треугольнике один из углов равен 90 градусов. 

Если нужен прямоугольный треугольник с заранее известными размерами, например, размеры катетов 200 и 300 пикселей, то проще всего сделать следующим образом:

Шаг 1

Создайте новый документ в фотошопе с высотой и шириной равными размерам катетов: например, ширина пусть 300 пикселей, а высота 200 пикселей.

Рабочая область в фотошопе всегда прямоугольной формы, поэтому угол в 90 градусов будет уже обеспечен. Две стороны прямоугольника — его катеты. Останется только провести диагональ — это будет гипотенузой.

Шаг 2

Будем действовать по аналогии с примером выше. Берем инструмент Линия и ставим опцию Слой-фигура.

Теперь обводим линией по краям и соединяем две точки по диагонали:

Шаг 3

На палитре слоев опять три слоя-фигуры. Их можно объединить в один слой (команда Объединить слои).

Готово

Прямоугольный треугольник готов, можно закрасить его в какой-нибудь цвет: